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For a detailed example in which the consequences of Bloch's theorem are worked out in a specific situation, see the article: Particle in a one-dimensional lattice periodic potential.

The defining property of a crystal is translational symmetry, which means that if the crystal is shifted an appropriate amount, it winds up with all its atoms in the same places.

A finite-size crystal cannot have perfect translational symmetry, but it is a useful approximation.

A three-dimensional crystal has three primitive lattice vectors a 1 , a 2 , a 3. If the crystal is shifted by any of these three vectors, or a combination of them of the form.

Another helpful ingredient in the proof is the reciprocal lattice vectors. For the formula for b i , see reciprocal lattice vector. The following fact is helpful for the proof of Bloch's theorem:.

As a special case of this,. Finally, define. This proves that u has the periodicity of the lattice. Because the crystal has translational symmetry, this operator commutes with the Hamiltonian operator.

Moreover, every such translation operator commutes with every other. This basis is what we are looking for.

The wavefunctions in this basis are energy eigenstates because they are eigenstates of the Hamiltonian , and they are also Bloch waves because they are eigenstates of the translation operators; see Lemma above.

The concept of the Bloch state was developed by Felix Bloch in , [2] to describe the conduction of electrons in crystalline solids.

The same underlying mathematics, however, was also discovered independently several times: by George William Hill , [3] Gaston Floquet , [4] and Alexander Lyapunov The general form of a one-dimensional periodic potential equation is Hill's equation : [6].

Specific periodic one-dimensional equations include the Kronig—Penney model and Mathieu's equation.

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